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概率测度专题

概率

September 12
概率
... 成P(A)、p(A)或Pr(A)。机率的数学概念可以延伸到无限的样本空间甚至不可数的样本空间,但需要用上概率测度的概念。 概率的公理化定义将概率的相关范畴从具体问题中抽象出来,从而可以在数学意义下考察概率的相关概念和 ...

测度

September 13
测度
... 每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度。见概率论公理。 其它例子,包括:狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。 ...

随机过程

September 13
随机过程
... 子集,然后把它有限化。为了解决这个问题,采用了 Kolmogorov扩展方法。 Kolmogorov扩展方法过程: 假定所有函数f的空间概率测度: 存在,那么它可以被用来指定有限维随机变量 .的联合概率分布。现在从这个n维概率分布,我们可以推断出第( ...

September 13
鞅
... s的观测值,则随机过程是鞅。 完全一般性的定义如下:若满足如下性质,则随机过程Y : T × Ω → S是关于滤链Σ∗和概率测度P的鞅: Σ∗是给定概率空间(Ω, Σ, P)的σ域流; Y是适应于滤链Σ∗的适应过程,即对于指标集T中的每一 ... 一个条件表示为: 上式是条件期望的一般形式。 要注意的重点是鞅成立的性质与滤链以及关于选定期望的概率测度都有关。Y可 ...

布朗运动

September 13
布朗运动
... 。布朗运动为映射           . Wiener测度 (或称为布朗运动的分布)设为,是映射B关于的图测度。 换句话说, W是上的一个概率测度,满足对于任何,有 。 备忘 布朗运动是一种增量服从正态分布的Lévy过程。 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性 ...

拉普拉斯变换

September 14
拉普拉斯变换
... 弱的意义上理解,在下面会去处理。 可以用勒贝格积分定义拉普拉斯变换为有限博雷尔测度 μ 一种特殊情况是当 μ 为概率测度,或者更具体地说,是狄拉克δ函数时。在运算微积中,拉普拉斯变换的测度常常被视作由分布函数 f 带来的测度。 ...

概率分布

September 19
概率分布
... 类型的分布,而不能视作一个分布。 狭义地,它是指随机变量的概率分布函数。设X是样本空间上的随机变量,为概率测度,则称如下定义的函数是X的分布函数(德语:Verteilungsfunktion,英语:distribution function),或称累积分布函数(德语:kumulative ... 设 且单调不减、右连续,则存在概率空间及其上的随机变量 X ,使得 F 是 X ...

调和测度

September 23
调和测度
... D 和 E ⊆ ∂D, ω(x, D)(E) 是x ∈ D 的一个调和函数,且 从而,对任何 x 和 D,ω(x, D) 是 ∂D 上的概率测度。 只要在 D 中有一点 x 满足 ω(x, D)(E) = 0 ,那么根据极小值原理,ω(x, D)(E) 对任何 x 恒等于 0,在这种情况下 ...

排容原理

September 23
排容原理
... : 也可以写成: 对于一般的测度空间(S,Σ,μ)和有限测度的可测子集A1,……,An,上面的恒等式也成立,如果把概率测度换为测度μ。 特殊情况 如果在容斥原理的概率形式中,交集AI的概率只与I中元素的个数有关,也就是说,对于 ...

σ-有限测度

September 26
σ-有限测度
... 反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度,但它并不是σ-有限测度。 与概率测度的等价性 给定,其上的任何σ-有限测度都等价于一个的概率测度。具体的构造方法是:令为全集的一个不交覆盖(划分),并且每个在下的测度都是有限的;再令为一个由正实数构成的数列,并且级数和 那么以下方式定义的测度: 就是一个与等价的概率测度,因为两者有着相同的零测集。 ...

条件概率

September 26
条件概率
... ,如果A已经发生,那么B发生的概率为零。 其它 如果事件的概率,那么在所有事件上所定义的函数就是概率测度。 如果,没有定义。 条件概率可以用决策树进行计算。 形式定义 考虑概率空间Ω(S, σ(S)),其中σ(S)是集S上的σ代数,Ω上对应于随机变量X的概率测度(可以理解为概率分布)为PX;又A∈σ(S),PX(A)≥0(这里可以理解为事件A,A不是零测集 .. ...

概率空间

September 26
概率空间
... (Ω, F)合起来称为可测空间。事件就是样本输出的集合,在此集合上可定义其概率。 第三项P称为概率,或者概率测度。这是一个从集合F到实数域R的函数,。每个事件都被此函数赋予一个0和1之间的概率值。 概率测度经常以黑体表示,例如或,也可用符号"Pr"来表示。 例子 若样本空间是关于一个机会均等的抛硬币动作,则样本 ...

勒贝格积分

October 24
勒贝格积分
... 或者它的一个勒贝格可测子集。则是所有的勒贝格可测子集构成的σ代数,μ则是勒贝格测度。在讨论概率论时,μ是概率空间中的概率测度,满足μ()=1。 在勒贝格理论中只有对所谓的可测函数才能够进行积分。一个函数被称为是可测的,假如每个区间 ...

支撑集

October 24
支撑集
... 的,其支撑集不包括。由于(即作用于)为,所以我们说的支撑集为。注意实数轴上的测度(包括概率测度)都是分布的特殊情况,所以我们也可以定义一个测度支撑集。 奇支集 在傅立叶分析的研究中,一个分布的奇 ...

概率逻辑

October 24
概率逻辑
... 句子中涉及到的变量 的特定子集 定义了在对应的子-σ-代数上的一个概率空间。这引出了有关 的两个不同的概率测度,分别叫做“支持度”和“可能度”。支持度可以被当作非加性(non-additive)“可证明性的概率”,它普遍化了普通逻辑的蕴涵()和 ...

函数空间

October 27
... 理论本质上研究函数空间的离散不变式。 在随机过程理论中,基本技术问题是如何在“过程路径”(时间的函数)的函数空间上构造概率测度。 在范畴论中,函数空间叫做指数对象。它以一种方式出现为表示规范双函子;但是作为类型[X, -]的(单一) ...

指示函数

October 28
指示函数
... 一例子所示,指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方,例如在概率论:若X是概率空间,有概率测度P,A是可测集,那么1A就是随机变量,其期望值等于A的概率。 。 这等式用于马尔可夫不等式的一个简单 ...

延森不等式

October 29
延森不等式
... ,使得。若是勒贝格可积的实值函数,而是在的值域上定义的凸函数,则 。 概率论的版本 以概率论的名词,是个概率测度。函数换作实值随机变量(就纯数学而言,两者没有分别)。在空间上,任何函数相对于概率测度的积分就成了期望值。这不等式就说,若是任一凸函数,则 。 特例 机率密度函数的形式 假设是实数轴上的可 ...

相对熵

October 29
相对熵
... 按积分方式定义为 其中p和q分别表示分布P和Q的密度。 更一般的,若P和Q为集合X的概率测度,且Q关于P绝对连续,则从P到Q的KL散度定义为 其中,假定右侧的表达形式存在,则为Q关于 ...

右连左极函数

October 29
右连左极函数
... ,因此斯科罗霍德空间是Polish空间。 斯科罗霍德空间中的胎紧性 通过应用阿尔泽拉-阿斯科利定理,我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件: 和 代数结构与拓扑结构 在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下,D ...