【抽象代數】用Mathematica求代數數本原多項式

我們前面介紹了,用Mathematica可以判定代數整數和代數數的方法。

那麼,給定一個代數數,怎麼求它的本原多項式呢?

本文,我就來介紹相關命令。

工具/原料

電腦
Mathematica

方法/步驟

我們知道Sqrt[2] + Sqrt[3] 是代數整數,它的本原多項式是:

MinimalPolynomial[Sqrt[2] + Sqrt[3]]

上面返回的是一個純函數。如果需要一個關於x的多項式,可以寫為:

MinimalPolynomial[Sqrt[2] + Sqrt[3],x]

同樣的,Sqrt[2] + Sqrt[3] + Sqrt[5]的本原多項式也可以求出來,結果得到的多項式有點複雜:

MinimalPolynomial[Sqrt[2] + Sqrt[3] + Sqrt[5],x]

(Sqrt[2+Sqrt[2]]+I Sqrt[2-Sqrt[2]])/2是一個單位根:

RootOfUnityQ[(Sqrt[2 + Sqrt[2]] + I Sqrt[2 - Sqrt[2]])/2]

求出它的本原多項式,可以進一步證明,它是一個單位根。

它的本原方程是x^8+1=0,因此,它是一個16次單位根。

圓周率不存在本原多項式,所以它不是代數數。

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