【抽象代數】求讓x^2+5y^2=p有整數解的奇素數p

本文,用代數整數環的理想因子分解理論,來解決一個丟番圖方程問題:

求奇素數p,使得x^2+5y^2=p有整數解。

工具/原料

電腦
python

二次互反律的應用

令奇素數p=2q+1,q為正整數。

-5是奇素數p的二次剩餘,若且唯若(-5)^q=1(mod p)。

當q為偶數,那麼,就相當於5也是p的二次剩餘。

使用二次互反律,可以知道,5是p的二次剩餘,等價於p是5的二次剩餘。

這樣,可以知道,p是模4餘1的5n±1型的素數。

當q為奇數,那麼,5就是p的非二次剩餘,這樣應用二次互反律,可以發現p還是5的二次剩餘,於是有p是模4餘3的5n±1型的素數。

如果p是模4餘3的素數,那麼x和y必定是一個奇數和一個偶數,於是:

左邊=x^2+5y^2=1(mod 4);

右邊=p=3(mod 4),矛盾。

注意事項

本文暫時沒有解開這個問題,僅僅是根據二次互反律,限制了奇素數p的大體範圍是模4餘1的5n±1型的素數。

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