各類未定式求極限處理方法(主要針對考研數學)

不管是在高中還是大學,未定式求極限總是常考內容。特別是考研基本都是必考。本篇經驗是各類未定式的求極限的方法總結。部分內容為大學高數內容,但是大部分內容同樣適合高中。

方法/步驟

未定式處理遵循先定型後定法原則。

現在我們在這裡先將未定式分為4大類型(定型):

1.基本型     即0/0型(零比零型),∞/∞型(無窮比無窮型)。

2.無窮乘零型   即∞x0型。

3.冪指函數型。

4.無窮減無窮型    即∞-∞型。

基本型:

直接用洛必達法則,過程中注意每一步都要判斷是否還保持基本型。

同時過程中要「四化」(「四化」詳見注意事項)。

洛必達法則,即為對分子分母分別求導數。

無窮乘零型(∞x0):

先「下放」再用洛必達

就是將∞x0,中的一項變換到分母位置。

變換後為0/(1/∞)或者外∞/(1/0),這樣實際上就變成了

0/0型和∞/∞,這就成了基本型了。之後的步奏就用基

本型的方法做。

冪指函數型(1的∞次方,∞的0次方,0的0次方):

先指數對數化,之後其冪必定變為了∞x0型,然後冪的極限求法就依照類型2(即無窮乘零型)操作。

此處說明指數對數化,上面三種冪指函數指數對數化後為,e的(∞xln 1)次方,e的(0 x ln ∞)次方,e的(0 x ln 0)次方。他們都指數都實際上都分別變成了∞ x 0,0 x ∞,0 x -∞。這就可以按照類型2處理了。

無窮減無窮型(∞-∞):

此類型還細分外三種情況。

1.分式差,方法就是通分,之後它局變為了基本型,就參照基本型處理,直接洛

必達。

2.根式差,看成是分母為1的分式,然後將分子有理化,之後它也變成了基本型

3.既非分式也非根式,此類型較為複雜,一般可令x=1/t,這樣就出現了分式。就可

按前兩種情況處理。

終極方法(通法):

將分式中的上下部分度化成邁克勞林式子。

此方法一般問題都能解決但是較為麻煩,在沒有其他思路的情況下考慮此法。

注意事項

「四化」:1,.無窮小因子等價化(此為大學內容,注意等價化條件只能是在整體的分子或分母)
2.冪指函數指數對數化。
3.無理式有理化。
4.非「0」極限因子淡化,就是把它算出來擱在一邊暫不理它
每用一次洛必達後都要檢查式子的類型,有些時候洛必達一次後式子已經不再是基本型了,不能連續用洛必達。
蠻幹不能蠻斷:不要一看洛必達後的式子極限不存在就認為極限不存在,因為你可能用錯了。

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